Моделирование финансовых систем: синергетический подход

© 2006 г.

Егоров Д.Г.

 

вот уже несколько десятилетий в экономической науке стоит вопрос о том, каким образом априорно равновесная микроэкономическая теория может быть согласована с макроэкономическим описанием – предметом которого являются ситуации неравновесные. Можно выделить 2 принципиальных подхода к этой проблеме:

а) “новая классика”, то есть попытки рассмотрения макроэкономических явлений как равновесных процессов (“все, что нужно для понимания макроэкономических проблем, содержится в неоклассической модели”[1]). К этому направлению можно отнести работы Е.Е.Слуцкого по исследованию связи случайных процессов и делового цикла, гипотезу рациональных ожиданий (Дж.Мут, Р.Лукас), теорию реального экономического цикла с экзогенными шоками (К.Бруно), и др.;

б) неокейнсианский микроподход, основанный на идее «“исправить” микроэкономику так, чтобы из ее принципов можно было извлечь объяснение обычно наблюдаемых макроэкономических явлений. Чтобы приспособить микроэкономику к макроэкономике, к первой дозировано добавляют несовершенную информацию, несовершенную конкуренцию и издержки адаптации».[2]

По нашему мнению, на решение этой важной проблемы можно выйти, обратившись к использованию методов синергетики: в настоящей работе мы ставим задачу построения синергетических микроэкономических моделей, на основе которых можно было бы объяснять существенно макроскопические явления экономической самоорганизации.[3]

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных экономико–синергетических моделей, отметим разницу в трактовке понятия “экономическая самоорганизация” с точки зрения обыденного и научного мышления. С точки зрения обыденного мышления «экономической самоорганизацией» весьма часто именуют процесс рыночной балансировки цен. С синергетической же точки зрения этот процесс является не самоорганизацией, а достижением экономической системой положения равновесия в результате действия в ней механизмов обратной связи. В самом деле: “невидимая рука“ рынка не создает пространственно–временные структуры (различия в ценах, норме прибыли, и так далее), а, напротив, нивелирует их (и приводит – в случае идеального рынка – к оптимальному состоянию экономической системы). Самоорганизация в экономике в строгом смысле этого понятия – это процессы самопроизвольного нарушения рыночной регуляции, с образованием устойчивых различий в тех или иных параметрах в различных частях (временных интервалах) экономической системы. Это такие явления, как циклы деловой конъюнктуры “подъем–спад” (колебательный режим), устойчивые отклонения обменных курсов валют от теоретически–равновесных значений, биржевые паники (режим хаотический), и так далее. Большая часть синергетических эффектов такого рода представляется с прагматической точки зрения вредными помехами, нежелательными с точки зрения интересов общества в целом (приводящими к искажению информации, переносимой системой цен). Но для того, чтобы эти эффекты можно было предотвращать, следует как минимум понять, что лежит в их основе. Неоклассическая микроэкономическая теория (в той форме, которую она имела на конец ХХ века) здесь нам помочь не может принципиально, в силу встроенных в нее (прежде всего – в форме принципа априорного равновесия) парадигмальных ограничений. Теперь рассмотрим, есть ли возможности развития микроэкономики на пути интеграции в нее синергетических идей?

Необходимое условие для реализации процессов самоорганизации – способность элементов системы вступать как минимум в два качественно различных типа взаимодействия.[4] Элементы экономических систем удовлетворяют этому условию: с одной стороны, в экономике происходит обмен товарами (материальными предметами), с другой стороны, этот процесс имеет сопровождение в денежной (то есть информационной) форме. Это порождает различные эффекты запаздывания сигнала (в силу разнесенности во времени и пространстве экономических трансакций). Рассмотрим конкретные модели процессов такого рода:

 

Макро–модели нелинейных экономических систем

В реальной экономике, в отличие от линейных макроэкономических моделей, ликвидация дисбаланса между спросом (C) и предложением (Y) не происходит мгновенно, а требует определенного характеристического времени (t). Как показано в ряде работ,[5] при превышении критического отношения C–Y к t решения системы макроэкономических уравнений не сходятся к точке равновесия, а переходят в колебательный, а затем детерминировано–хаотический режим: это значит, что циклические колебания экономики с возможным переходом в непредсказуемый хаотический режим могут быть следствием просто повышенной реакции экономических агентов на несоответствие спроса и предложения.

Задержки денежного обращения могут вызвать переход экономики из равновесного состояния в состояние пониженной продуктивности – то есть тоже равновесное состояние, но не максимально продуктивное.[6] Наконец, бифуркационные переходы в системах макроэкономических уравнений (с изменением основных макроэкономических показателей, и появлением нескольких устойчивых стационарных состояний, появлением неустойчивых состояний, возникновением хаоса, и так далее) могут возникать в результате внешних по отношению к собственно экономике воздействий: целенаправленного перераспределения доходов,[7] изменения ключевых технологий, и так далее.

Классические макроэкономические исследования в рамках синергетического подхода можно интерпретировать как линеаризованные модели нелинейных процессов (выводящих экономику из состояния оптимального равновесия). В рассмотренных здесь работах по математическому моделированию экономической самоорганизации используется также макроэкономический подход, – в его нелинейной реализации. Общие выводы, которые можно сделать после анализа этих исследований:

а) реальные экономические системы отнюдь не всегда автоматически достигают оптимального равновесия;

б) для вывода экономики из неоптимального стационарного (хаотического) состояния может требоваться внешнее воздействие в форме государственного регулирования, направленного на «устранение отклонений макроэкономической системы от траектории эволюционного развития»[8]

Теперь рассмотрим вопрос: можно ли построить микромодель экономической системы, которая бы позволяла отражать процессы самоорганизации (и тем самым снять проблему рассогласования равновесной микроэкономической теории и неравновесной макроэкономики)?

 

Моделирование нелинейных экономических систем на основе микро–подхода

На сформулированный выше вопрос мы отвечаем положительно, и считаем, что такие модели могут быть построены на основе постановки в соответствие процессов в экономических системах процессу диффузии в системах физических (термодинамических). Ввиду важности этой метафоры для нашего последующего изложения уточним, что есть диффузия: это перераспределение какого–либо компонента в пространстве в результате случайного теплового блуждания отдельных атомов: Зададим в пространстве множество точек, и концентрации в них какого–либо компонента к; если в соседних точках эти концентрации различны, то происходит перераспределение компонента из точки с более высокой концентрацией в точку, где концентрация ниже; процесс идет тем интенсивнее, чем больше разница К₁ – к₂, и продолжается до тех пор, пока концентрации к₁ и к₂ не сравняются.

Процесс достижения равновесия на рынке можно метафорически представить в понятиях термодинамики[9]: множеству точек пространства соответствует множество экономических агентов; точки принимаются находящимися рядом, если между агентами есть информационная связь[10]; под концентрациями веществ (товаров) здесь мы будем понимать их предельные полезности; если они отличаются в соседних точках – происходит диффузия компонента (пока предельные полезности в соседних точках – то есть у соседних экономических агентов – не выровняются[11]). Подобно тому, как в любой связной физической системе рано или поздно устанавливается диффузионное равновесие, в такой идеальной экономической системе также установится равновесие ценовое.[12]

Помимо однокомпонентной, в физике рассматривается и многокомпонентная диффузия; ее математический формализм сложнее, так как в этом случае требуется учитывать взаимное влияние компонентов друг на друга (освобождение ими друг для друга мест), однако в общем случае при достаточном количестве времени и в многокомпонентной системе должно устанавливаться равновесие. Теперь отметим, что метафора экономической системы как многокомпонентной диффузии соответствует развитому М.Алле формальному представлению рыночного обмена как процесса поиска излишка[13]: когда компонент переходит от агента, оценивающего его ниже, к агенту, ценящему его выше, суммарная субъективная оценка имеющихся в их распоряжении благ возрастает[14].

Если мы ограничимся моделированием только процесса рыночного перераспределения, то уже такая диффузионная модель экономики (соответствующая, как мы уже указали выше, модели поиска излишков М.Алле) может рассматриваться как обобщение маржинализма[15], – при этом она имеет то преимущество перед маржинальной микромоделью, что не требует принятия априорного принципа равновесия[16]. Однако только лишь диффузия[17] не может дать нелинейных синергетических эффектов. Теперь расширим модель, и отразим в ней тот факт, что, помимо обмена, в экономических системах происходит преобразование одних ресурсов в другие: это можно сделать, задав в различных точках нашего информационного пространства функцию взаимодействия компонентов (U) между собой (F(U)). Функция эта совершенно не обязательно будет линейной – ведь (как минимум) все те причины, которые могут вызывать нелинейность в рассмотренных нами выше макромоделях, значимы и на микроуровне. В рамках нашей диффузионной (термодинамической) метафоры это будет означать, что концентрация веществ в различных точках пространства меняется не только в результате диффузии, но и каких–то иных процессов [18]. В результате мы получаем систему нелинейных параболических уравнений типа “реакция–диффузия”:

dU/dt=F(U)+DDU,

где матрица D определяет коэффициенты переноса (вещества, энергии, информации). Фактически, тем самым мы уже получаем микромодель экономической системы, в рамках которой нет принципиальных запретов на самоорганизацию (так как уже такая микромодель экономики принципиально не противоречит неравновесным макромоделям экономики).

Теперь обратим внимание, что как механическая, так и термодинамическая метафоры равновесия предполагают только один качественный тип связей между элементарными субъектами экономической теории – получение информации через цены (мотивом для обмена каких–либо благ на другие для субъектов рынка является различие в степени полезности этих благ для участников сделки; равновесие на рынке означает, что никто не может увеличить собственную функцию полезности без уменьшения совокупных полезностей других участников). Попробуем учесть тот факт, что в реальности люди принимают решения не только на основе цен, но и пользуясь иными, качественно отличающимися каналами передачи информации (от промышленного шпионажа до политических новостей). Не может ли это послужить принципиально иными источниками нелинейности в экономических системах, и если «да» – какой подход к их моделированию будет наиболее корректен?

Помимо рассмотренных выше примеров синергетических моделей, нелинейные экономические эффекты могут быть связаны с субъективным влиянием на ход экономических процессов действий участников, примерами чего служат валютный и фондовый рынки [19]: “[в естественных науках] существует только односторонняя связь между утверждениями и фактами… Если утверждение соответствует фактам, оно истинно, если нет, то оно ложно. Но в случае с мыслящими участниками все складывается по–другому. Существует двусторонняя связь. С одной стороны, участники пытаются понять ситуацию, в которой они участвуют. Они пытаются создать картину, соответствующую реальности. Я называю это пассивной, или когнитивной, функцией. С другой стороны, они пытаются оказать влияние, подделать реальность под их желания. Я называю это активной функцией, или функцией участника. Когда реализуются одновременно обе функции, — я называю такую ситуацию рефлексивной[20]… Когда обе функции реализуются одновременно, они могут вмешиваться в действия друг друга. Через функцию участни­ка люди могут оказывать влияние на ситуацию, которая, как предполагается, должна выступать в роли независимой переменной для когнитивной функции. Следовательно, понимание участников не может рассматриваться как объективное знание. И поскольку их решения не опираются на объективное знание, то, естественно, результат будет расходиться с их ожиданиями”.[21]

Отметим, что нелинейные эффекты рассогласования спроса и предложения (рассмотренные выше) есть частный случай влияний на экономическую действительность принципиального несовершенства мышления участников: такое рассогласование есть следствие того, что при задержке информации, проходящей через систему цен (а эта задержка в условиях крупного производства неизбежна), инвестор вынужден моделировать будущую конъюнктуру; кризис есть ничто иное, как следствие несовершенства моделей, на основе которых инвесторы принимают решения о разворачивании избыточных производственных мощностей (“если в этом году спрос повысился в два раза, значит, и в следующем он будет расти…”). Но если в случае дисбаланса спроса–предложения можно хотя бы теоретически представить создание совершенных моделей формирования спроса (так как спрос и предложение формируются различными субъектами рынка, и действия инвесторов не связаны с покупателями), то в случае фондового рынка действия участника непосредственно меняют конъюнктуру рынка – то есть количество степеней свободы процесса в этом случае значительно больше.

Иными словами: в первом случае мы оперируем неоклассической моделью homo oeconomicus[22] (пусть и с ограничениями на степень совершенства информации, и возможности ее обработки). Во втором случае мы отходим от этой модели, ибо в ситуации рефлексивности человек может ошибаться не только случайно, но и систематически: например, ошибки оценки могут быть индуцированы извне, то есть человек может просто не осознавать своих реальных интересов[23], что в рамках классической модели homo oeconomicus немыслимо.

Хотя рефлексивность – неотъемлемое свойство современных фондовых и валютных рынков, однако феномен этот до сих пор исследован явно недостаточно, и соответствующих моделей по состоянию на сегодня нам не известно. Тем не менее, попробуем продвинуться в нашем исследовании, поставив вопрос об адекватном аналоге рефлексивного финансового процесса среди моделей теории самоорганизации.

Далее представлена наша модель нелинейной финансовой системы; ее принципиальное отличие от моделей, обсуждавшихся выше – то, что она построена (а) на основе микроэкономического подхода, (б) содержит дополнительные параметры, отражающие рефлексивность. В основе ее – модельное уравнение распространения тепла в нелинейной среде с горением:[24]

(1)                                           Т_t=(k(Т) Т_x)_x + k₂ Т^β,

где Т – температура;

t – время;

Т_t = ¶Т/¶t (первая производная, то есть скорость изменения температуры во времени);

k(T) – нелинейный коэффициент теплопроводности, меняющийся в зависимости от изменения температуры: k(T) = k₁ Т^a;

k_1,2 – коэффициенты (k_1,2 > 0, a,β > 1).

Правая часть этого уравнения состоит из двух членов, первый из которых описывает рассеяние теплоты в результате диффузии,[25] второй – процесс горения. Если β=1, то мы имеем дело с экспоненциальным процессом; Т в степени β>1, означает, что с ростом температуры интенсивность процесса горения нарастает более интенсивно, чем в экспоненциальном случае.

Основные качественные различия в видах режимов возникают в зависимости от отношения a и β, то есть от сравнительной интенсивности генерации тепла, и его диффузии.[26] При этом возможны три принципиально различных режима развития процесса со временем: LS-, S и НS-режимы (соответственно характеризующиеся отношениями: a+1=b, a+1<b, a+1>b,  см. рис. 1). Дадим интерпретацию уравнения (1) с точки зрения процессов роста котировок на фондовом рынке. Среда, в которой происходит процесс, характеризуемая координатой х (0 ³ x ³ N) – интерпретируется как различные виды выставляемых на торги ценных бумаг (ЦБ), общим числом N. Т в точке х – степень желания участников торгов купить акцию «х», то есть субъективная “полезность” данной ЦБ: если Т_х=0, то это значит, что отношение доходность/цена для данной ЦБ “х” средняя для данного рынка; если Т_х > 0, то это значит, что существует ажиотажный спрос на “х”; с ростом Т растет, соответственно, и цена “х”. При численном моделировании мы выражаем Т в безразмерных единицах. Связь Т с ценой задается некоей функцией полезности; нахождение ее конкретного вида – отдельный вопрос, выходящий за пределы нашего исследования. Диффузии тепла (первый член уравнения (1)) соответствует процесс сглаживания ажиотажных отклонений цен в процессе торгов. Наконец, аналог горения (второй член уравнения (1)) – и есть собственно рефлексивный процесс, в котором акции растут в цене потому, что они растут в цене. Первоисточником данного аналога горения (то есть роста ажиотажной информации) может быть как случайная флуктуация, так и спланированная кем–либо извне акция – в рамках рассматриваемой модели это не важно. В рамках нашей аналогии LS – и S–режимы соответствуют лавинообразному росту отдельных ЦБ или групп ЦБ (типа феномена МММ); НS–режим – это рост финансового пузыря в размере рынка в целом (типа роста котировок высокотехнологичных компаний на фондовом рынке США 90–х годов).

Предложенная базовая модель нами конкретизирована и исследована [27]:

·                   учтем, что ажиотажный спрос растет как степенная функция от совокупного «перегрева» оценки той или иной ЦБ всеми участниками торгов: общеизвестно, что паника, в том числе и финансовая, есть «стадное чувство». Общее число участников торгов обозначим N, а конкретный участник будет отмечаться индексом j. В результате от уравнения (1) мы переходим к системе n уравнений с заменой Т в члене (k₂ Т^β) суммированием по j;

·                   произведем переход от системы дифференциальных уравнений к дискретному отображению: если при исследовании физических систем такого рода переход есть вынужденный компромисс, связанный с невозможностью аналитического решения нелинейных уравнений, то в случае анализируемой нами ситуации фондового рынка как раз дифференциальные уравнения являются менее точной моделью, нежели дискретные разностные схемы: в прообразе нашей модели (то есть на фондовом рынке) дискретны и виды ЦБ, и сами участники, и время, ибо торги, как правило, идут с определенным временным интервалом. Для общего количества видов ЦБ = X и количества участников N мы можем построить клеточный автомат Х * N, каждая клетка которого содержит значения T_j,x (х = 1,2.. Х; j = 1,2.. N), получаемые на каждом последующем шаге отображением ^tT ® ^t+1T. Заданием на нем инициирующей флуктуации мы легко получаем рост Т с обострением, качественно различающийся (LS–, S–, HS–режимы) в зависимости от соотношения a и b.[28] 

главный недостаток уравнений типа (1) как аналогов рефлексивного финансового процесса в том, что они предполагают задание меры по х: ЦБ в рамках таких моделей фактически расположены в единый ряд, соседние точки которого как–то связаны между собой своими свойствами, так что флуктуации котировок в конкретной точке х₍₀₎ сказываются сначала на наиболее близких по свойствам к инициаторам ЦБ, затем во все более слабом виде распространяются дальше. Это – наименее реалистичное предположение модели. Можно ли модифицировать модель так, чтобы отказаться от этого предварительного условия?

Эту модификацию мы нашли, предположив, что в общем случае изменение цены на какую–либо ЦБ меняет предпочтения участника к другим ЦБ случайным образом. Для этого для каждого участника торгов мы строим двумерную матрицу (А) взаимосвязи цен ЦБ размерностью [х*х], содержащую случайные числа, и получаем следующий клеточный автомат [29]:

(2)                   ^t+1T = T + k₁ Т^a (S_j=1..x(Т_х-Т₀)*А_[x,0]) + f k₂(S_j=1..N Т)^b,

Подобие клеточного автомата (2) и уравнения (1) интуитивно совсем не очевидно. Введенный нами новый член – тоже в некотором роде диффузия, но она описывается в форме, которая никак не является аналогом дифференциального оператора Лапласа. Вследствие этого исследование этого нового дискретного отображения может быть только численным (во всяком случае, способы аналитического исследования такого рода выражений нам неизвестны), и результаты его заранее непредсказуемы. Может ли отображение (2) демонстрировать режимы с обострением? В численном исследовании (2) нами были обнаружены LS–режимы с обострением, что, по нашему мнению, подтверждает законность нашей аналогии рефлексивных финансовых процессов и нелинейного горения. Конечно, мы отдаем отчет в том, что сущность любой аналогии – неполнота, и численный эксперимент существенно слабее строгого аналитического доказательства. В данном случае, однако, аналитическое исследование свойств отображения (2) вряд ли возможно.

Подводя итог нашему исследованию рефлексивных финансовых процессов, отметим:

а) предлагаемый нами подход к микромоделированию экономических систем принципиально свободен от парадигмальных коллизий с макроэкономических описанием (и открыт для дальнейшего развития);

б) уже достаточно простые микро–модели показывают возможности перехода финансово–экономической системы в неустойчивый режим с обострением (как в результате случайной флуктуации, так и целенаправленной финансовой игры): любой рефлексивный процесс подвержен резким и принципиально непредсказуемым колебаниям (исключение – целенаправленная финансовая игра, для организаторов которой результат, конечно, предсказуем), – то есть для такого рода систем состояние неустойчивости и неравновесности есть норма (а отнюдь не исключение, для объяснения которого нужны внешние причины).

Каковы возможные перспективы развития настоящего исследования? В первую очередь это – построение синергетических микро–моделей на основе подхода “реакция–диффузия”  – что, вероятно, может привести к нахождению более общих (а, возможно, и более строгих) моделей, описывающих нелинейные экономические системы.

 

Рис. 1. Профили температуры Т для различных моментов времени (числа у кривых) в случае S-режима (а), НS-режима (б), LS-режима (в)[30].