о выборе адекватной структурно-петрографической парадигмы

(какая метрика нужна для описания петрографических структур?)

 

Д.Г. Егоров

Этот текст – немного переработанный раздел монографии

 

Проблема аналитического описания петрографической структуры рассматривалась в последние годы в ряде работ [1]. Одной из наиболее популяризируемых (прежде всего по количеству публикаций) среди упомянутых подходов является концепция (назовем ее топологической), развивитая Ю.Л.Войтеховским: первоначально в качестве развернутой характеристики структурной организации горной породы им использована матрица вероятностей различных типов межзерновых контактов [2]. Например, для породы, состоящей из магнетита (Mgt), куммингтонита (Cum) и кварца (Qu) она может иметь вид:

Mgt      Cum    Qu

 Mgt    0.07   0.08   0.27

 Cum 0.08    0.05   0.25

 Qu      0.27   0.25   0.28

Здесь 0.07 - это вероятность контакта зерна магнетита с другим зерном магнетита, 0.08 - вероятность контакта зерна магнетита с зерном куммингтонита и т.д. Подсчет количеств различных типов межзерновых контактов производится по рисункам с микрофотографий шлифов. Свернутой характеристикой организации горной породы в рамках данного подхода является информация Шеннона, вычисляемая по полученному распределению вероятностей согласно формуле (1):

(1)                                 I = -åp_i ln p_i, при условии åp_i =1.

 Основная таксонообразующая роль в рамках данного подхода принадлежит, однако, не различным градациям значений I, а различным типам диагональных квадратичных форм, к которым сводятся исходные матрицы [3]. И если в первичной матрице строки и столбцы соответствуют отдельным минералам, то в преобразованной это - минеральные кластеры.

Можно согласиться, что для равномернозернистых гранобластовых структур статистика межминеральных контактов схватывает важный морфологический аспект петрографической структуры. Основным же недостатком такого подхода, как указано нами [4], является то, что вероятность межзерновых контактов по сути есть локальный критерий (даже при рассмотрении матричных квадратичных форм, т.к. рассматриваемые при этом кластеры есть устойчивые сочетания нескольких зерен разных минералов, и имеют такие же локальные свойства, что и единичные зерна). Иллюстрацией этого может послужить рисунок 1. Рассмотрим изображенные на нем две идеализированные структуры биминеральной породы. Они имеют явно различную с точки зрения петрографа структурную упорядоченность, но при применении описанной выше методики дадут идентичные матрицы вероятностей межзерновых контактов, и, соответственно, идентичные значения I. Естественно, что в любой породе имеются флуктуации распределений минералов, и матрицы межзерновых контактов для разных частей одного шлифа могут отличаться. Для сглаживания флуктуаций требуется представительный статистический материал. Однако в представленном на рис. 1 случае различие между структурами не будет зафиксировано при любом уровне представительности статистики. В чем тут дело? Модель горной породы, в рамках которой рассматриваемый критерий упорядоченности строго корректен - нечто вроде "твердого газа", структура, в которой отсутствует дальний порядок (т.е. нет корреляции зерен, непосредственно между собой не соприкасающихся). В модели идеального газа, на которой Больцманом и было разработано статистическое описание энтропии, действительно, подобные устойчивые пространственные корреляции невозможны, локальные функции распределения адекватно отображают степень упорядоченности и рассчитанная по ним I является энтропией, т.е. мерой беспорядка системы. Часто, однако, именно возникновение таких дальних пространственных корреляций маркирует важную структурную перестройку в горных породах, инициируемую процессами самоорганизации. Рассчитанная по локальным структурным критериям I будет обладать всеми своими свойствами, но для анализа более высокого структурного уровня нужны будут другие параметры.

Нами предложена [5] методика оценки организации горной породы с использованием корреляционной функции степени близости зерен минералов. Если описанная выше методика оперирует с множеством минеральных зерен, между которыми задано соотношение “зерно i контактирует/не контактирует с зерном j”, то в предложенном нами подходе мы, задавая на множестве минеральных зерен отношение “расстояние между центрами минеральных зерен i,j меньше/больше, чем r”, строим матрицу, каждый член которой p_ij представляет собой корреляционную функцию f(r) степени близости зерен i-го минерала к зернам j-го. Корреляционный интеграл f(r) задает количество пар зерен, расстояние между которыми меньше выбранного исследователем характеристического расстояния r:

(2)                               f(r)=q_i,j (å_k,m Q(r-mod(x_k-x_m))),

где x_k,m – координаты центров зерен, mod(x_k-x_m) - расстояния между ними, Q - ступенчатая функция (функция Хэвисайда), равная 1, если аргумент больше нуля, и нулю в остальных случаях, q_i,j - функция разделения значений по классам распределения f(r), в зависимости от того, какими минералами (i,j) представлены зерна (k,m). Такая функция вычисляется при различных r, т.к. заранее не всегда можно установить разумное характеристическое расстояние экспертной оценкой.

При малых r (примерно соответствующим средним расстояниям между зернами) получаемая матрица фактически идентична матрице статистик межминеральных контактов. При увеличении характеристического расстояния r в равномернозернистой породе особых изменений не происходит, при наличии же корреляций порфиробластических вкрапленников с изменением r происходит изменение значений p_ij, и, соответственно, вычисляемых по ним значений I.

Таким образом, если для равномернозернистых пород (типичный пример - микроструктура гранита) матрица межзерновых контактов является адекватной структурной мерой, то в случае порфиробластической структуры мера должна учитывать наличие дальних корреляций в распределении порфиробластов (типа случаев, изображенных на рис. 1). Таким образом, структура породы может быть адекватно охарактеризована двумя структурными характеристиками: локальной матрицей межзерновых контактов и аналогичной матрицей для следующего структурного уровня, которая будет отображать степень взаимоувязанности между собой позиций порфиробластов (они будут характеризоваться различными характеристическими расстояниями r). На практике это может быть оценено путем построения графиков вариаций значений p_ij, и соответствующих I; на каком-то значении r они выйдут устойчивый уровень – это и будет радиус взаимной корреляции зерен исследуемой структуры.

 Для петрографических структур с ориентированными выделениями минералов типа трахитоидной или лепидобластовой для адекватной характеристики структуры может потребоваться информационная мера, учитывающая наличие или отсутствие предпочтительной ориентировки минералов.

Обобщая эти примеры, можно сделать вывод, что разнообразие структур, выделяемых петрографами, не является их произволом, который можно свести к одной виртуозно разработанной мере сложности. Оно отражает объективное разнообразие типов структурообразующего мотива. Но в то же самое время для каждого конкретного структурного уровня и типа возможно подобрать такой параметр (параметры), который может быть адекватно отображен методами теории информации. Строго говоря, такая возможность вытекает уже из самого определения структуры как строения и внутренней формы организации системы, выступающей как единство устойчивых взаимосвязей между ее элементами, а также законов данных взаимосвязей [6] - различные составные части фигуры могут быть как-то количественно охарактеризованы, если не накладывать ограничения на единообразие такой характеристики. Не всегда это рационально, и в этой процедуре нет никакой необходимости, пока геолог работает с объектами, поддающимися интуитивному "схватыванию", однако с увеличением количества геологической информации необходимость в такого рода формализме будет возрастать.

В качестве конкретного примера продемонстрируем, каким образом можно формализовать классификацию главнейших петрографических структур, предложенную Ю.И.Половинкиной [7]. В соответствии с нею петрографические структуры делятся на порфировые и афировые (равномернозернистые), и каждая из этих групп имеет в свою очередь классы:

1 Кристаллически-зернистые.

            1.1. Панидиоморфнозернистые.

            1.2. Гипидиоморфнозернистые.

            1.3. Аллотриоморфнозернистые.

            1.4. Импликационные.

            1.5. Центрические.

2 Микрокристаллические.

            2.1-2.5 аналогично 1.1-1.5.

3 Микролитовые.

4 Криптокристаллические.

Все эти классы могут быть исчерпывающе (в пределах признаков, положенных в основу выделения вышеперечисленных классов структур) охарактеризованы набором значений I, рассчитанных по схеме, приведенной ниже:

функция распределения:	что характеризует:
а) по степени взаимной близости зерен	пан- гипидиоморфизм, центричность
б) размер зерен	микро-макро зернистость, степень ее равномерности
в) степень удлинения	офитовость
г) ориентировка (0°-360°)	трахитоидность, импликационизм
д) степень идиоморфизма	пан- аллотриоморфизм

 

Для каждого конкретного набора пород можно выбрать одну или несколько информационных характеристик, которые будут адекватно отражать степень разнообразия исследуемых структур.

Как еще один пример подхода, в котором в качестве основополагающего эпистемологического принципа выступает трактовка петрографической структуры как сложно организованной иерархической системы, можно привести работы В.Индутного.[8] Так, для гранитов Украинского щита им отмечается, «что организованность этих пород проявлена на нескольких уровнях: пространственное распределение минеральных индивидов (1); образование текстурных мотивов, сложенных минеральными индивидами одного качества (кластеры) (2); композиции, состоящие из нескольких текстурных мотивов (различные минеральные фазы) (3); текстурные группы, включающие несколько композиций (4). Возможным представляется и выделение более общих групп организованности.»[9].

В своих последующих работах Ю.Л.Войтеховский[10] также привлекает для характеристики петрографических структур метрические отношения между зернами; в отличие от наших работ, где используется непрерывная метрика, он вводит ее дискретный аналог (метрику h_ij – минимальное число межзерновых границ, пересекаемых при непрерывном пути от зерна i к зерну j), т.е. огрубляет рассмотрение структуры с точностью до зерна.[11] Действительно, изображенная на рис. 1 “апория” таким образом преодолевается. В подходе этом, однако, остается достаточно оснований для, того, чтобы предпринять критический анализ.

Наш анализ мы начнем с развернутой цитаты, в которой использование непрерывной метрики характеризуется следующим образом: “…породе навязывается привычная, известная из геометрии метрика трехмерного евклидова пространства. В этом нет ничего предосудительного, если поставленная цель не требует иных средств. Однако нам представляется, что прежние средства никогда не приведут к принципиальному переопределению фундаментального понятия петрографической структуры, к такому его определению, которое вместит в себя существеннейшие организационные моменты сразу всех горных пород и вместе с тем укажет принципы их структурной систематики. Чтобы достичь такой цели, мы мыслим горную породу как пространство со своими специфическими межэлементными соотношениями и, в том числе, со своей метрикой”.[12] В этой цитате нами выделена основная, по нашему мнению, эпистемологическая ошибка критикуемого подхода.

Комментируя вышеприведенное заявление, прежде всего заметим, что трактовка горной породы по В.И.Вернадскому[13] как одного из пространств земной реальности, восходящая к представлениям Лейбница об атрибутивности пространства и времени (“Если пространство представляет собой свойство или атрибут, то оно должно быть свойством какой-нибудь субстанции… Если… пространство считать свойством, то это приводит к моему взгляду, согласно которому оно является порядком вещей, а не чем-нибудь абсолютным”[14]; “… мы заблуждаемся, пытаясь вообразить себе абсолютное пространство… Такое понятие внутренне противоречиво…”[15]), в общем случае не запрещает применения как дискретных, так и непрерывных метрик.[16] Существо дела, впрочем, не в этом. Перефразируя вышеприведенную цитату, заметим, что и в использовании топологического подхода с введением дискретной метрики тоже нет ничего предосудительного – если это позволяет достичь некоего нетривиального результата (действительно, часто использование именно грубых абстракций позволяет построить мощную теорию). Наш оппонент достигает таким образом результата – дать описание сразу всех структур горных пород. Вот только так ли уж ценен этот результат?

Сама постановка задачи в рамках топологического подхода предполагает некий не сформулированный им явно метафизический принцип – им предполагается, что структура горной породы сложена простыми атомарными элементами с линейными отношениями между собой; все элементы структуры принадлежат одному иерархическому уровню (декларироваться при этом может подход “иерархический”,[17] “эволюционный”,[18] “нелинейный”[19] – предметом настоящего анализа, однако, являются не декларации, а существо сравниваемых эпистемологических принципов). Ранее это формулировалось им явным образом: “Стохастический характер минерального агрегата приводит к идее использовать в качестве меры его организации статистическую энтропию…”[20] Теперь Ю.Л.Войтеховский так ставит решаемую им задачу: “Проблема состоит в том, чтобы корректно определить любой минеральный агрегат… как пространство и исследовать его общие свойства. Иначе говоря, для минерального агрегата следует найти адекватный математический образ и использовать для построения его структурной теории лишь содержащиеся в законе агрегации фундаментальные отношения (не)тождественности и (не)контактирования слагающих его минеральных зерен.”[21] По нашему мнению, ошибка в такой постановке проблемы заключается в ее представлении как проблемы математической, в то время как она является в первую очередь эпистемологической. Прежде чем начинать рассмотрение математических свойств агрегата, следует исследовать соответствие между его свойствами и принимаемой (явно или неявно) эпистемологией, т.е. сформулировать лежащие в основе исследования метафизические (не поддающиеся математической проверке) принципы. Принимаемая эпистемология диктует затем отбор математических методов, которые используются для решения проблемы. Использование для построения структурной теории только отношений (не)тождественности и (не)контактирования, с игнорированием протяженности, неявно [22] предполагает, что сложность как наличие структуры из подсистем и сложность как термодинамическая вероятность одно и то же.

В противоположность этому мы полагаем, что в общем случае структура (в данном примере петрографическая) может состоять из сложных элементов (со своей подструктурой), с различными структурообразующими мотивами, которые могут относиться к различным иерархическим уровням. Определение петрографической структуры как способа взаимосвязи и взаиморасположения составных частей, обеспечивающего целостность и тождественность объекта [23] явным образом не задает рамок в выборе того или иного подхода (ибо не оговорено, каковы свойства составных частей – являются ли они атомарными, или, напротив, сложными образованиями) – это делает исследователь. Здесь проходит граница между представлениями о структурировании, содержащимися в эпистемологии классической науки, и эпистемологией самоорганизации.

Классификация, основанная на иерархических уровнях сложности, разработана в биологии (то есть, разбиение на таксоны внутри типов, например, хордовых и членистоногих производится по совершенно различным критериям). Предположим, что некий энтузиаст применения математики в науках о живом разработает унифицированный критерий структуризации для сразу всех биологических таксонов: растений, рыб, микробов, млекопитающих, и т.д. Как бы ни был он хитроумен, вряд ли этот подход будет иметь успех – абстрактная формальная строгость не сможет искупить очевидной нелепости попадания в один таксон пальмы и гиппопотама. Для достижения своей цели (описания “сразу всех”) наш оппонент, подобно этому гипотетическому биологу, абстрагируется от размеров, формы, пространственного расположения элементов петрографической структуры – и таким образом закрывает глаза на объективное разнообразие и возможную сложную связь между собой структурообразующих мотивов (что отражает разнообразие соответствующих процессов).

Одним из простейших примеров очевидно антиинтуитивного вывода при применении дискретной метрики h_ij может служить рисунок 2: с учетом условия, что путь из i в j не должен пересекать тройных (четверных) сочленений, [24] расстояние от зерна i до заштрихованного зерна в левом нижнем углу рисунка вдвое «больше», чем до заштрихованного зерна в верхнем правом углу. [25] Конечно, сам по себе антиинтуитивный вывод еще не является доказательством порочности подхода на основе дискретной метрики (это может быть просто свидетельством того, что наши интуиции сложились в рамках парадигмы, не отвечающей сущности исследуемого объекта), поэтому проведем дополнительный анализ существа процесса образования горной породы. Ключевым здесь будет вопрос - что обеспечивает наличие в горной породе корреляций несоприкасающихся зерен? Если этот информационный агент имеет размерность «дискретное зерно», то следует предпочесть дискретную метрику, в ином случае предпочтительнее метрика непрерывная. В качестве примера рассмотрим следующие две ситуации: 1) сеть интернета; 2) грузовые перевозки. При анализе структуры 1) тот факт, что узлы WWW расположены физически в различных точках Земли, является сугубо второстепенным; информационным агентом является электронный сигнал, в масштабах Земли распространяющийся фактически мгновенно. Скорость прохождения сигнала лимитируется только числом узлов, через которые он проходит, а не их пространственной геометрией, и применение дискретной метрики абсолютно оправданно. При анализе системы 2), напротив, количество транспортных развязок (населенных пунктов) в маршруте – сугубо второстепенное обстоятельство. Действительно, маршрут длиной 100 км, пусть и проходящий через 10 транспортных развязок, будет выгоднее, чем маршрут в 500 км, проходящий через 2 транспортных узла. Возвращаясь к горным породам, заметим, что рассматриваемая нами корреляция есть результат того, что кристалл при росте избирательно поглощает из окружающей среды химические компоненты, и меняет тем самым поле химических концентраций в своей окрестности. Информационным агентом этого процесса является диффузия химических компонентов, измеряемая не дискретными единицами (типа штук зерен), а непрерывной метрикой. В объеме горной породы это будет евклидова метрика, полностью соответствующая существу исследуемой структуры (т.е. структуры горных пород). В случае, если петрографическая структура имеет свойства фрактала, может потребоваться также дробная характеристика размерности пространства (см. ниже), отличная от Евклидова 3D континуума, однако в любом случае градиенты концентраций химических компонентов будут контролироваться непрерывным расстоянием между источниками и концентраторами тех или иных компонентов, а отнюдь не топологией структуры, огрубленной до зерна.

Итак, декларируемая агенетичность подхода (в смысле – оценивать упорядоченность структур, не связывая себя априорными генетическими концепциями) оборачивается в результате антигенетичностью – ибо фактически вся структурная информация, имеющая генетическое содержание, остается при таком рассмотрении горной породы за бортом. Петрографическая структура создается в первую очередь химическим взаимодействием компонентов, и непрерывная метрика пространства есть основной структуроконтролирующий параметр. Попытка построить структурную теорию горных пород только лишь на топологических основаниях есть попытка построения структурной теории, где элиминируется главный структурообразующий мотив. В качестве курьеза сам автор топологического подхода приводит метрику r (х₁, х₂) = 0 (если х₁= х₂), 1 (в любом другом случае): “Эта странная метрика попросту означает, что любые 2 зерна находятся на расстоянии 1.”[26] К сожалению, анализ работ в рамках топологического подхода (по крайней мере – по состоянию на сегодня) свидетельствует, что и отталкиваясь от факта связности минерального агрегата путем контактирования между собой слагающих его зерен, оказывается затруднительным перейти к сколь-нибудь интересным для петрографа (петролога) заключениям.

Подход, который Ю.Л.Войтеховский пытается применить на уровне структур горных пород, был действительно реализован в кристаллографии Е.С.Федоровым [27] на уровне кристаллографических структур минералов. Разница, однако, в том, что кристаллы действительно могут быть корректно описаны в рамках эпистемологии классической науки – они слагаются атомами (т.е. объектами на уровне кристалла практически идеальными), процесс кристаллизации является унифицированным структурообразующим мотивом, и т.д. Эту разницу хорошо иллюстрирует мысль Д.П.Григорьева: “…целое имеет особое качество – внутреннюю связь, радикально отличающую целое от частей в их разобщенности, и что качество целого никогда не простая сумма качеств частей, а всегда нечто новое и специфическое. В ряду атом – минерал – тело руды или горной породы каждый объект есть целое особого статуса, организованное по своим законам, не переносимым на другие объекты. Так, Федоровские 230 пространственных групп симметрии, строго реализуемые в структурах минералов, никак не распространяются ни на атомы с их квантово-механическими законами, ни на руды и горные породы." [28] Таким образом, критикуемый нами подход есть попытка редуцировать объективно сложные закономерности структурирования горных пород до уровня единообразного аналитического описания – противоречащая сущности исследуемого объекта, и редукционистская (физикалистская) по своему существу.

Суммируя изложенное выше, идеи наших работ по количественной характеристике петрографических структур можно сформулировать в форме 2-х тезисов:

1. для характеристики дальнего порядка в структурах следует вводить метрические отношения между зернами;
2. петрографическая структуры являются иерерхическими системами, в силу чего в общем случае они не могут быть адекватно охарактеризованы какой-либо универсальной мерой сложности – в основе количественной характеристики структуры лежит свойство протяженности, но конкретные структурные формы могут требовать различных методов их характеристик.

Изложенные в данном разделе представления о структуре петрографического пространства горной породы могут быть распространены в общем случае и на геологические объекты более высоких иерархических уровней – формации горных пород, блоки земной коры, и т.д. (при этом на более высоких уровнях могут возникать новые свойства, не сводимые к свойствам их частей – но этот вопрос мы не рассматриваем в рамках настоящей работы).