Егоров Дмитрий Геннадьевич

О Единстве экономической теории

Приложение 4. Микро-модели нелинейных рефлексивных финансовых процессов

Как мы уже отмечали, различные уровни абстрактности отображения экономических систем в рамках нашей базовой модели связаны с принятием тех или иных исходных принципов модели homo oeconomicus: в случае, если экономические агенты принимаются обладающими свойствами ангелов (вездесущность, всеведение, мгновенность действия) – в любой экономической системе тут же установится оптимальное состояние.

Отказ от принципов сугубой честности, полной информированности и абсолютной рациональности, - с заменой их более реалистичными моделями поведения экономических агентов, - приводит к моделям, рассматриваемым в рамках нового институционального подхода: чтобы сэкономить на поиске и обработке информации, экономические агенты создают институты. Есть, однако, особый институт, моделирование которого предполагает отказ и от принципа независимости агентов: в условиях недостатка информации, и(или) при ограниченной рациональности (проще говоря – при среднем уме, или даже откровенной глупости агента), экономические субъекты, как правило, просто копируют поведение друг друга, институализируя подражание (информационный стресс вызывает регресс до стадного инстинкта). При этом другие агенты могут строить свою стратегию с учетом этого института (манипулируя тем самым участниками экономической системы, не имеющими иных оснований для выбора, кроме подражания) [1].

Отметим, что нелинейные эффекты рассогласования спроса и предложения (рассмотренные выше) есть частный случай влияний на экономическую действительность принципиального несовершенства мышления участников: такое рассогласование есть следствие того, что при задержке информации, проходящей через систему цен (а эта задержка в условиях крупного производства неизбежна), инвестор вынужден моделировать будущую конъюнктуру; кризис есть ничто иное, как следствие несовершенства моделей, на основе которых инвесторы принимают решения о разворачивании избыточных производственных мощностей («если в этом году спрос повысился в два раза, значит, и в следующем он будет расти…»). Но если в случае дисбаланса спроса-предложения можно хотя бы теоретически представить создание совершенных моделей формирования спроса (так как спрос и предложение формируются различными субъектами рынка, и действия инвесторов не связаны с покупателями), то в случае фондового рынка действия участника непосредственно меняют конъюнктуру рынка – то есть количество степеней свободы процесса в этом случае значительно выше.

Иными словами: если в первом случае мы модифицируем модель homo oeconomicus [2] (налагая ограничения на степень совершенства информации, и возможности ее обработки), то во втором случае мы окончательно отходим от этой модели: в ситуации рефлексивности человек может ошибаться не только случайно, но и систематически (например, ошибки оценки могут быть индуцированы извне, т.е. человек может просто не осознавать своих реальных интересов [3], что в рамках классической модели homo oeconomicus немыслимо). Рефлексивность предполагает возможность заблуждения – это оборотная сторона человеческой свободы при построении моделей реальности (иными словами – это оборотная сторона свободы воли при мышлении). Одна из причин того, что такого рода экономические феномены не исследуются в рамках основного неоклассического течения экономики – то, что признание возможности субъективной ошибки подразумевает наличие объективного эталона (иначе как отличить субъективную ошибку от субъективно-верной оценки ситуации?). В экономической теории таким эталоном выступает понятие стоимости в его объективной (т.е. существующей независимо от субъективных восприятий) трактовке [4].

Так как рефлексивность – неотъемлемое свойство современных фондовых и валютных рынков, и феномен этот практически не исследован, то и соответствующих моделей по состоянию на сегодня нам не известно.

мы построили микро-модель нелинейного рефлексивного (в понятии Дж. Сороса) финансового процесса (ибо особенно рельефно обсуждаемые эффекты проявляются именно на финансовых рынках) на основе модельного уравнения распространения тепла в нелинейной среде с горением: [5]

(1)              Т_t=(k(Т) Т_x)_x + k₂ Т^b,

где Т – температура;

t – время;

Т_t = ¶Т/¶t (первая производная, то есть скорость изменения температуры во времени);

k(T) – нелинейный коэффициент теплопроводности, меняющийся в зависимости от изменения температуры: k(T) = k₁ Т^a;

k_1,2 – коэффициенты (k_1,2 > 0, a,b > 1).

Правая часть этого уравнения состоит из двух членов, первый из которых описывает рассеяние теплоты в результате диффузии, [6] второй – процесс горения. Если b=1, то мы имеем дело с экспоненциальным процессом; Т в степени b>1, означает, что с ростом температуры интенсивность процесса горения нарастает более интенсивно, чем в экспоненциальном случае. Если процесс достаточно длительное время развивается по такому закону, то мы имеем дело с режимом с обострением (достижением бесконечной температуры за конечное время). Теория этих процессов, описываемых модельным уравнением (1), подробно рассматривается в ряде работ. [7] Основные качественные различия в видах режимов возникают в зависимости от отношения a и b, то есть от сравнительной интенсивности генерации тепла, и его диффузии. Если a+1=b, то горение локализуется в области максимального начального теплового возмущения с характеристической длиной L_T, имеет место самоподдерживающаяся тепловая изоляция активной зоны процесса, с тенденцией к бесконечному возрастанию температуры в зоне локализации (S-режим: см. рис. 2, а). В случае, если тепло генерируется более интенсивно, чем рассеивается (a+1<b), мы имеем дело с  LS-режимом горения (см. рис. 2, в). При нем тепло также локализуется в области максимального начального теплового возмущения с характеристической длиной L_T, однако максимальный пик Т с развитием процесса сужается (в отличие от S-режима, где его ширина равна L_T). Наконец, в случае a+1>b, когда диффузия преобладает над генерацией тепла, процесс развивается в HS-режиме (рис. 2, б): температура в этом случае стремится к бесконечному росту во всех точках. Понятно, что если 1³b, процесс всегда развивается в HS-режиме.

Теперь дадим интерпретацию уравнения (1) с точки зрения процессов роста котировок на фондовом рынке (в контексте моделирования рефлексивного процесса). Среда, в которой происходит процесс, характеризуемая координатой х (0 ³ x ³ N) – интерпретируется как различные виды выставляемых на торги ценных бумаг (ЦБ), общим числом N (если N достаточно велико, то использование непрерывной функции здесь оправдано). Т в точке х – степень желания участников торгов купить акцию «х», то есть субъективная «полезность» данной ЦБ: если Т_х=0, то это значит, что отношение доходность/цена для данной ЦБ «х» средняя для данного рынка; если Т_х>0, то это значит, что существует ажиотажный спрос на «х»; с ростом Т растет, соответственно, и цена «х».[8] Диффузии тепла (первый член уравнения (1)) соответствует процесс сглаживания ажиотажных отклонений цен в процессе торгов. [9] Наконец, аналог горения (второй член уравнения (1)) – и есть собственно рефлексивный процесс, в котором акции растут в цене потому, что они растут в цене. Как известно из практических наблюдений, в случаях ажиотажного спроса процесс нарастает лавинообразно, что и отражается в степенной зависимости с коэффициентом b>1 (всякий процесс распространения информации развивается по принципу цепной реакции, и адекватно моделируется степенной функцией). Первоисточником данного аналога горения (то есть роста ажиотажной информации) может быть как случайная флуктуация, так и спланированная кем-либо извне акция – в рамках рассматриваемой модели это не важно. В рамках нашей аналогии LS- и S-режимы соответствуют лавинообразному росту отдельных ЦБ или групп ЦБ (типа феномена МММ); НS-режим – это рост финансового пузыря в размере рынка в целом (типа роста котировок высокотехнологичных компаний на фондовом рынке США 90-х годов).

Теперь попробуем сделать нашу достаточно абстрактную модель более реалистичной. В действительности процессы ажиотажного роста котировок (также как и горение) никогда не идут до бесконечности. В модели (1) это может быть учтено либо введением ступенчатой функции q (исключающей член k₂Т^b при достижении Т порогового значения r), либо добавкой в базовое уравнение (1) третьего члена, - в этом случае исследуемое уравнение примет вид:

(2)              Т_t=(k(Т) Т_x)_x + k₂ Т^b- k₃ Т^y,

при условии (k₂ > k₃, y > b). В случае рассмотрения тепловых процессов введенный нами новый член отражает тот факт, что с развитием процесса топливо выгорает, или начинаются эндотермические реакции с поглощением тепла. В модели фондового рынка данный член отражает следующую эмпирическую закономерность: чем сильнее котировка «перегрета», тем выше вероятность, что участники торгов будут выходить из игры – в сущности, этот член отражает ничто иное, как связь с реальностью, отраженную в реальной степени доходности ЦБ.

Следующий шаг в конкретизации нашей модели – учет того, что, в отличие от горения, ажиотажный спрос возникает не при любой флуктуации первичного распределения Т, а лишь при превышении значения Т какого-то критического порога (часто весьма значительного). Этого можно добиться введением ступенчатой функции q, ограничивающей член k₂Т^b снизу (q=0, если k₂Т < e, в ином случае q =1):

(3)              Т_t=(k(Т) Т_x)_x +q k₂ Т^b- k₃ Т^y

Далее, в общем случае значения коэффициентов k_1,2,3 a, b, y для разных участников торгов (их общее число обозначим N, а конкретный участник будет отмечаться индексом j) будут отличаться (можно предположить, что все эти коэффициенты будут связаны между собой определенными пропорциями, а абсолютное значение их будет функцией финансовых резервов конкретного участника торгов). В этом случае от уравнения (3) мы переходим к системе n уравнений:

(4)     Т_{j t}=(k_j(Т_j) Т_{j x})_x +q k_{j 2} (S_j=1..N Т_j)^b- k_{j 3} Т_j^y,          j = 1,2.. N.

Суммирование по j S_j=1..N Т_j означает, что ажиотажный спрос растет как степенная функция от совокупного «перегрева» оценки той или иной ЦБ всеми участниками торгов (общеизвестно, что паника, в том числе и финансовая, есть «стадное чувство»),[10] в то время как «остывает» каждый участник индивидуально.

Наконец, для численного исследования нашей модели [11] следует произвести переход от дифференциальных уравнений к дискретному отображению. Заметим, впрочем, что если при исследовании физических систем такого рода переход есть вынужденный компромисс, связанный с невозможностью аналитического решения нелинейных уравнений, то в случае анализируемой нами ситуации фондового рынка как раз дифференциальные уравнения являются менее точной моделью, нежели дискретные разностные схемы. К дифференциальным уравнениям исследователи экономико-математических моделей прибегают в силу развитого аппарата их исследования, однако переход от экономической реальности к дифференциальному исчислению предполагает гипотезы непрерывности и полной выпуклости – в общем случае неадекватные экономическим реалиям. [12] В прообразе нашей модели дискретны и виды ЦБ, и сами участники, и время (ибо торги, как правило, идут с определенным временным интервалом). Для общего количества видов ЦБ = X и количества участников N мы можем построить клеточный автомат Х * N, каждая клетка которого содержит значения T_j,x (х = 1,2.. Х; j = 1,2.. N), получаемые на каждом последующем шаге отображением T ® ^t+1T (индексы j,x при T, k₁, k₂, k₃ для компактности записи опущены):

(5)              ^t+1T = T + k₁ Т^a (DТ_{х-1, х, х+1}) + q k₂(S_j=1..N Т)^b- k ₃Т^y,

где DТ_{х-1, х, х+1} есть разница значений Т между соседними клетками (разностный аналог градиента).

дискретное отображение (5) позволяет моделировать условия запуска рефлексивного фондового процесса. Возможны два принципиально различных рефлексивных источника нестабильности фондового рынка: случайные флуктуации, и целенаправленная спекулятивная деятельность. Оба этих процесса могут быть отражены предлагаемым нами клеточным автоматом: случайные флуктуации моделируются тем или иным начальным неравновесным распределением Т; спекуляции же можно моделировать, задав возможность для некоторых участников (клеточек нашего автомата) изменять Т независимо от закона функционирования автомата (5). [13]

 Такое численное моделирование было нами проведено с использованием пакетов MathCad и Pascal-Delphi. Как в одномерном (N = 1), так и в двумерном случае заданием инициирующей флуктуации мы легко получили рост Т с обострением, качественно различающийся (LS-, S-, HS-режимы) в зависимости от соотношения b и a. В отличие от случайных флуктуаций, целенаправленная спекулятивная деятельность (когда ряд игроков по предварительному сговору понижают/повышают цену неких ценных бумаг, чтобы запустить рефлексивный процесс, а затем скупить/продать их на волне ажиотажа) моделируется системой (5) допущением для некоторых участников N(j) изменять некоторые Т(x) независимо от закона функционирования исследуемой модели: это дает возможность держать повышенные значения для некоторых Т(x) неопределенно долго.

Главный недостаток уравнений (1-5) как аналогов рефлексивного финансового процесса в том, что они предполагают задание меры по х: ЦБ в рамках моделей (1-5) фактически расположены в единый ряд, соседние точки которого как-то связаны между собой своими свойствами, так что флуктуации котировок в конкретной точке х(0) сказываются сначала на наиболее близких по свойствам к инициаторам ЦБ, затем во все более слабом виде распространяются дальше. Это – наименее реалистичное предположение модели. Можно ли модифицировать модель так, чтобы отказаться от этого предварительного условия?

Эту модификацию мы нашли, предположив, что в общем случае изменение цены на какую-либо ЦБ меняет предпочтения участника к другим ЦБ случайным образом. Для этого для каждого участника торгов мы строим двумерную матрицу (А) взаимосвязи цен ЦБ размерностью [х*х], содержащую случайные числа. Соответственно, член (DТ_{х-1, х, х+1}), моделирующий в дискретном отображении (5) диффузию, замещается на суммирование по х, и мы получаем следующий клеточный автомат:

(6)     ^t+1T = T + k₁ Т^a (S_j=1..x(Т_х-Т₀)*А_[x,0]) + q k₂(S_j=1..N Т)^b- k ₃Т^y,

В отличие от системы (5), подобие клеточного автомата (6) и уравнения (1) интуитивно совсем не очевидно. Введенный нами новый член – тоже в некотором роде диффузия, но она описывается в форме, которая никак не является аналогом дифференциального оператора Лапласа. Вследствие этого исследование этого нового дискретного отображения может быть только численным (во всяком случае, способы аналитического исследования такого рода выражений нам неизвестны), и результаты его заранее непредсказуемы (в отличие от системы (5), результаты исследования которой, напротив, были вполне ожидаемы). Может ли отображение (6) демонстрировать режимы с обострением? В численном исследовании (6) нами были обнаружены LS-режимы с обострением: при условиях k₁ >> k₂, k₃ ≈ 0, β > α+1 (например: k₁ = 0.001, k₂ = 0.1, β = 2.6, α = 1.5). [14] По нашему мнению, это обнаружение режимов с обострением подтверждает законность нашей аналогии рефлексивных финансовых процессов и нелинейного горения.

Конечно, мы отдаем отчет в том, что сущность любой аналогии – неполнота, и численный эксперимент существенно слабее строгого аналитического доказательства. В данном случае, однако, аналитическое исследование свойств отображения (6) вряд ли возможно, а полученные для системы (6) режимы с обострением, которые можно поставить в соответствие процессам биржевых паник и спекуляций, позволяет нам рассматривать данный клеточный автомат как базовую модель рефлексивных финансовых процессов.

Подводя итог нашему исследованию рефлексивных финансовых процессов, отметим: уже достаточно простые микро-модели показывают возможности перехода финансово-экономической системы в неустойчивый режим с обострением (как в результате случайной флуктуации, так и целенаправленной финансовой игры): любой рефлексивный процесс подвержен резким и принципиально непредсказуемым колебаниям. Исключение – целенаправленная финансовая игра, для организаторов которой результат, конечно, предсказуем. За счет такого рода игр возникают сверхприбыли финансовых спекулянтов. С точки же зрения интересов общества как целого такого рода колебания – явление крайне неблагоприятное. Модели самоорганизации в экономике позволяют заключить, что, в конечном счете, негативные эффекты экономической самоорганизации оказываются оборотной стороной удобства, связанного с использованием денег: т.е. для такого рода систем состояние неустойчивости и неравновесности есть норма (а отнюдь не исключение, для объяснения которого нужны внешние причины). На макроэкономическом уровне деньги – информационный агент, передающий сигналы между различными частями экономической системы; любые колебания искажают информационный сигнал, и хаотизируют экономику. Из этого вытекает, что одной из главных задач денежной политики любого государства должно бы быть: минимизировать негативные рефлексивные эффекты денежного обращения.

 Pис. 2. Профили температуры Т для различных моментов времени (числа у кривых) в случае S-режима (а), НS-режима (б), LS-режима (в).[15]