Егоров Дмитрий Геннадьевич

О Единстве экономической теории

Приложение 1. Информация, энтропия, развитие, мышление

i.1. Определение информации

i.2. Информация и энтропия

i.3. Противоречит ли развитие законам термодинамики?

i.4. Мышление

i.5. Выводы

i.1. Определение информации

Информация – предельно общая (философская) категория. Это - мера неоднородности, или структурированности, или порядка: «Современной науке известны три фундаментальные и взаимосвязанные субстанции Универсума: материя, энергия и информация. Масса рассматривается как мера воздействия гравитации на материю и мера инерции; энергия — как мера движения материи; информация, понятая в количественном смысле, — как мера организации, присущей материальным объектам.»[1]

Возможна трактовка информации и как меры влияния одной системы на другую.[2]

Существует математическая функция, со свойствами, позволяющими служить мерой информации:[3]

Информацией или неопределенностью называется вещественнозначная функция событий, зависящая только от вероятности событий и удовлетворяющая следующим условиям:

1.     Событие, наступающее с вероятностью единица, имеет нулевую неопределенность.

2.     Если одно событие имеет меньшую вероятность, чем другое, то неопределенность первого события больше неопределенности второго.

3.     Неопределенность одновременного наступления двух независимых событий равна сумме их неопределенностей.

Обозначая информацию I и вероятность W, найдем, какая функция f будет удовлетворять этим условиям. В соответствии с условием (3)

I=I₁+I₂ ,

а в соответствии с теорией вероятности:

W=W₁W₂

тогда

f(W₁W₂)=f(W₁)+f(W₂).

Чтобы решить это функциональное уравнение, достаточно продифференцировать его по W₁ и W₂:

f^’(W) +W f^’’(W)=0.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:[4]

f(W)= a ln(W)+C.

Изменение коэффициента а в данной формуле будет соответствовать изменению основания логарифмов; в дальнейшем изложении мы не будем принимать его во внимание, и за исключением особо оговоренных случаев будем использовать натуральные логарифмы. Замена основания логарифмов во всех формулах данной работы безусловно возможна, но она повлечет за собой только изменение масштаба отсчета без изменения сути. Абстрагируясь от постоянной интегрирования С, получаем соответствие первому условию: ln(1)=0.

Функция вида f= ln W была предложена Хартли[5] для оценки совокупной неопределенности событий. Это - единственная функция, удовлетворяющая условию (3).

Для Р равновероятных событий вероятность каждого Р_i из W равна

Р_i =1/W,

тогда

f(W)=a ln(W)=a ln(1/P)=-a ln P,

что соответствует условию (2): монотонно убывающей искомая функция будет только при отрицательных а. Количество информации, приходящееся на одно равновероятное событие равно:

f(W)=-Р ln P.

Переходя к общему случаю, зададим функцию распределения вероятности на интервале [0,1]:

ò p(x) dx =1.

Тогда:

(i.1)                                  I= ò p(x) f (x) dx = -ò p(x) ln (x) dx

или для дискретно заданной функции распределения:[6]

(i.2)                                  I = -åp_i ln p_i          при условии åp_i =1.

Формула (i.2) является основной для расчета информации I. p₁, p₂, p₃ ...p_i - значения какого-либо признака в точках 1,2,3...i, либо вероятности встречаемости значений какого-либо признака в интервалах 1,2,3...i. Совокупность значений какого-либо признака, нормированная так, чтобы сумма была равна 1, называется функцией распределения. Функция распределения p_i в общем случае (способ 1) рассчитывается путем разбиения всего исследуемого ряда данных на ряд классовых интервалов (1...i), с последующим подсчетом количества измерений, попавших в каждый класс и делением каждого значения p_i на сумму p_i (p_i / åp_i). Возможно также интерпретировать сами значения признака в вероятностном смысле (способ 2).

Предельные значения информации (I_min-I_max): I при каком-либо p_i=1 обращается в нуль, если же p₁ = p₂ = p₃ =... p_n=1/n, то I=log n - максимально возможное ее значение (n - число компонентов в системе). Из этой же формулы вытекает, что значение информации (I) меняется в зависимости от того, на сколько элементов мы разбиваем исследуемую систему.[7] Иными словами, информация – прагматичный параметр, величина которого зависит от структурного уровня, на котором мы систему исследуем. Но на заданном уровне это величина объективная.

В основополагающих работах Шеннона по теории информации[8] это понятие рассматривается как мера неопределенности, степени нашего незнания о системе. Такая интерпретация была задана фактически самой задачей (исследование устойчивости и полноты передачи сигнала при использовании какого-либо канала связи), при решении которой Шенноном и была разработана теория информации. В то же время эта же функция I является характеристикой разнообразия самой системы.[9] Именно это является ее наиболее ценным прагматическим свойством при анализе естественнонаучных данных (в отличие от собственно теории информации, посвященной теории передачи сообщений).

i.2. Информация и энтропия

Формула (i.1) соответствует одной из форм записи термодинамической энтропии.[10] Энтропия в соответствии со 2-м законом термодинамики является неубывающей функцией, что вводит в термодинамику понятие необратимого процесса (т.е. процесса, при котором произошло увеличение энтропии: соответствующие начальные условия уже не могут быть восстановлены). Существует огромное количество работ, в которых второе начало рассматривается как универсальный закон, применимый к распределениям данных любой природы.[11] При таком подходе по распределениям каких-либо параметров рассчитываются значения I, а затем производится интерпретация в терминах роста-уменьшения упорядоченности и т.д. Ввиду того, что такого рода рассуждения встречаются в очень многих работах, посвященных как синергетической проблематике в общем,[12] так и применительно к экономическим системам,[13] мы считаем необходимым остановиться на вопросах соотношения информации и энтропии, а также того, противоречит ли 2-й закон термодинамики прогрессивной эволюции на более высоких (по отношению к тепловому движению молекул) уровнях бытия.

Понятие энтропии S было введено Клаузиусом (при рассмотрении им круговых тепловых процессов) как функции состояния, не зависящей от пути процесса, и определено им как отношение изменения теплоты к температуре:

DS=DQ/T.

Больцманом в рамках микроскопической теории энтропия была непосредственно связана с числом W допустимых микросостояний системы в данных термодинамических условиях, т.е. получила вероятностное обоснование. Позже М.Планк записал эту связь между энтропией и вероятностью в виде:

(i.3)                                                     S = k ln W,

где k - постоянная Больцмана. Формула (i.3) может быть сведена (с точностью до знака) к форме (i.2), что и позволяет рассматривать термодинамическую энтропию как аналог информации.

Далее мы будем рассуждать не о трактовке 2-го начала в рамках термодинамики (в пределах физики предмета для спора нет), а о вопросе, допустимо ли придание второму началу термодинамики онтологического статуса, возможна ли его трактовка как общего принципа, выходящего собственно за рамки термодинамики. С нашей же точки зрения, расширение термодинамического подхода за пределы собственно термодинамики несет в себе внутреннее противоречие. Заметим, что со вторым началом термодинамики связаны даже не одна, а две проблемы: с одной стороны, это проблема обратимости во времени уравнений механики, что вступает в противоречие с термодинамической необратимостью процессов; с другой стороны, второе начало термодинамики в его классическом истолковании противоречит также идее прогрессивной эволюции.[14] На наш взгляд, обе эти проблемы взаимосвязаны, и при этом равно искусственны.

В одной из недавних работ Г.А.Мартынов пишет: “В начале века она [проблема противоречия между динамикой и термодинамикой в связи с возрастанием энтропии] привлекала к себе пристальное внимание; сейчас интерес к ней заметно упал, но не потому, что проблема была решена, а, скорее, потому, что все привыкли к мысли, что ее решить невозможно. Я, однако, полагаю, что подобный пессимизм вряд ли оправдан”.[15] Присоединяясь к процитированному высказыванию, мы, со своей стороны, считаем, что основой для разрешения этой проблемы может послужить онтологический принцип единства мира. Обсуждаемое противоречие существует в наших описаниях природы, а не в природе как таковой. Природа едина по своей сути, и не может обладать логически противоречащими друг другу свойствами.[16] Соответственно, если мы имеем противоречивые описания природы, то, по меньшей мере, в одном из анализируемых описаний содержится логическая ошибка, либо оно неправомерно обобщено. Таким образом, для решения означенной проблемы необходимо не столько приложение методов математической физики, сколько тщательный онтологический и эпистемологический анализ соотношения оснований механики и термодинамики, с целью нахождения этой скрытой ошибки, которая и приводит к кажущемуся противоречию.

На наш взгляд, этой ошибкой является нарушение закона тождества при интерпретациях второго начала термодинамики: в процессе рассуждений, приводящих к “противоречию” между механикой и термодинамикой, 2-е начало сначала трактуется как закон статистический,[17] а затем к нему предъявляются требования (безосновательно!) как к закону динамическому (истинному всегда и везде, при любых условиях). “Противоречие” между динамикой и термодинамикой – следствие этого неправомерного (для вероятностного по своей сути утверждения) статуса 2-го начала, что и налагает запрет на некие динамически возможные состояния.[18]

В своих работах И.Пригожин и его соавторы акцентируют внимание на том, что каждый может наблюдать растворение капли частиц в воде, но никто не наблюдал обратной картины. Действительно, почему мы не наблюдаем в природе процессов типа концентрации рассеянной в стакане воды капли чернил? Краткий ответ может быть таков: из-за недостаточного времени наблюдения.

Рассмотрим простую компьютерную модель типа клеточного автомата (рис. 1), на которой традиционно демонстрируются статистические закономерности термодинамических процессов. В данном случае будет проводиться моделирование диффузии. Pис. 1(а) представляет начало процесса: на микроскопическом уровне (в модели это уровень отдельных клеток, в природе это молекулы, броуновские частицы и т.д.) мы имеем просто какое-то распределение параметров (Х и не-Х) в пространстве; общая картина существования капли вещества Х во внешней среде раскрывается только при макроскопическом взгляде на систему. Зададим теперь алгоритм развития процесса: каждый временной квант какая-либо случайным образом выбранная частица будет переходить в одну из пустых соседних клеток (если они, конечно, в ее окружении есть). Через некоторое время картина, представленная на рис. 1 (а), сменится на рис. 1 (б), 1(в) и т.д. Это вполне соответствует реально протекающим процессам: капля чернил будет растворяться в воде, а молекулы газа, собранные в одном месте, будут стремиться заполнить весь объем. Обратим внимание на то, что разница между системами, изображенными на рис. 1 (а) и 1(б-г) существует только на макроскопическом уровне; с точки же зрения микроскопического описания мы имеем просто другое распределение Х в пространстве (или, если мы проинтерпретируем наш рисунок как растворение чернил: Состояние концентрации атомов чернил в одной области пространства является привилегированным только с точки зрения макроскопического описания, которое, в свою очередь существует только в чувственном восприятии наблюдателя). Распределение 1(а) принципиально не отличается от распределения 1(г), и если мы сейчас проделаем путь “а → б → в → г” в обратную сторону, то мы снова получим распределение 1(а). Почему, однако, мы не наблюдаем подобных процессов в природе - скажем, концентрации рассеянной в стакане воды капли чернил? Краткий ответ может быть таков: из-за недостаточного времени наблюдения. Состояние 1(а) является привилегированным только с точки зрения макроскопического описания, которое, в свою очередь существует только в чувственном восприятии наблюдателя - природа же состоит из атомов и энергетических полей. Переход из 1(б) в 1(в) или в 1(г) - это столь же редкое событие, как и переход из 1(б) в 1(а), но макроскопический наблюдатель не фиксирует разницы между состояниями 1(б-г) (и огромным количеством других); все эти распределения выступают под общим именем "смесь" или "хаос", в отличие от "порядка" 1(а). Выделив в нашем численном эксперименте, условно говоря, из 10ⁿ равновероятных состояний одно (1а), мы безусловно увидим в соответствии с теорией вероятности, что это уникальное состояние замещается каким-то иным и очень долго не возникает вновь. В конце концов оно все же возникнет: в течении 10ⁿ интервалов времени. В теории тепловых процессов этой крайне низкой вероятностью можно, конечно, пренебречь. На этом уровне описания термодинамика чрезвычайно эффективна, позволяя заменять огромные динамические описания несколькими макропеременными. Однако при анализе соотношения динамики и термодинамики на уровне отдельных частиц, аппроксимируемыми множествами с конечным количеством элементов, даже исчезающе малая вероятность возвращения системы в первоначальное состояние имеет принципиальное значение, в том плане, что исчезает мистический запрет на какие-то состояния динамической системы, с точки зрения термодинамики имеющие меньшую энтропию. В вероятностных терминах утверждение 2-го закона термодинамики о неуклонном росте энтропии лишается своей таинственности и звучит почти как тавтология: более вероятные процессы происходят с большей вероятностью. Поэтому введенное Эддингтоном понятие “стрелы времени”[19] представляется неосновательной экспансией термодинамики в философию - с тем же основанием можно ввести “стрелу пространства” на основе того факта, что тяготение на Земле всегда направлено к ее центру (никто ведь не считает нарушением симметрии уравнений механики тот факт, что камни самопроизвольно катятся только под гору!).

Теперь обсудим второй аспект связанного со вторым началом дуализма: «противоречие» с принципом эволюции (что связано с трактовкой второго начала как универсального закона, применимого к распределениям данных любой природы). Однако, рассматривая как энтропию значение I для какого-либо распределения данных, исследователь фактически принимает гипотезу о том, что рассматриваемая им совокупность объектов аналогична “молекулярному хаосу” идеального газа Больцмана, т.е. эти объекты никак друг на друга не влияют. Поясним этот тезис компьютерным экспериментом, аналогичным изображенному на рис. 1, но теперь в алгоритм сделаем добавление: при встрече элементарные частицы будут взаимодействовать и соединяться. С какого бы места (б-г) мы не начали эксперимент, очень скоро все частицы образуют единый кластер с min I, а стало быть и энтропии, если приравнивать эти понятия.[20]

Это, конечно, не опровержение 2-го начала термодинамики (как принципа именно термодинамики), а просто иллюстрация того, что ответ на вопросы о степени упорядоченности многих физических (не говоря уже о социальных) явлений (при использовании тех или иных информационных оценок) как правило формален или(и) бессмыслен.

Ранее аналогичные представления были сформулированы И.Генкиным: «Обычно вероятности появления тех или иных конфигураций подсчитываются на основе модели идеального газа. Но ясно, что такая модель имеет весьма далекое отношение к мегамиру, одна из основных черт которого – наличие дальнодействующих сил тяготения… Известно, что равномерное распределение вещества в пространстве не может быть стационарным, а должно либо расширяться, либо сжиматься… вопреки распространенным представлениям более вероятно именно состояние вещества с развитой структурой, а отнюдь не первозданный хаос… Представление, согласно которому появление предпочтительных структур маловероятно, основано на недоразумении, на применении комбинаторики там, где она неприменима.»[21]

Иначе говоря, «более вероятная структура (имеющая большую энтропию) может быть как более развитой (сложной), так и менее развитой, в зависимости от конкретной ситуации»[22]; «…распространенные представления о большей вероятности равномерного распределения («хаоса») связаны с неправомерным распространением гипотезы о равновероятности микросостояний за пределы модели идеального газа.»[23] Сложность как наличие структуры из подсистем и сложность как термодинамическая вероятность - не одно и то же.

i.3. Противоречит ли развитие законам термодинамики?

Каким образом та или иная трактовка второго начала термодинамики сказывается на представлениях о развитии? Вопрос этот для нашего исследования весьма важен, ибо экономика – система в общем случае развивающаяся (США начала 30-х годов прошлого века и Россия 90-х – это, все-таки, исключения). Если мы хотим приложить формализм теории информации к экономическим системам, следует выяснить, допустимо ли переносить свойства термодинамических систем (с присущими им ограничениями) на экономику, - в этом случае информационный подход в экономике вряд ли будет продуктивен.

Исходя из онтологического статуса второго начала термодинамики, И.Р.Пригожин развивает философскую концепцию эволюции, в основе которой лежит идея рождения порядка из хаоса.[24] Мерой порядка в системе служит уменьшение в ней значения энтропии, последнее происходит за счет увеличения энтропии (и беспорядка) в окружающей среде. Эволюция есть ряд переходов “…хаос ® порядок ® хаос ® порядок…”, регулируемых энтропийным принципом.

Мы не принимаем такой трактовки концепции развития. Прежде всего, заметим, что для образования структур необходимым условием является не поток энтропии, а поток энергии. Эти понятия взаимосвязаны только для систем, соответствующих термодинамическим идеализациям (где, действительно, развитие следует сценарию И.Р.Пригожина). Сводить, однако, к термодинамике все разнообразие системообразующих мотивов, как показано выше, недопустимо – мир не есть огромный резервуар, наполненный идеальным газом (где все связи и взаимодействия качественно равноценны). Напрашивающийся (хотя отнюдь не единственный) контрпример здесь – развитие жизни на Земле. Источник энергии, за счет которого происходит последовательное увеличение как количества, так и качества биомассы на Земле – солнечный свет. При этом излучение Солнца не сопровождается увеличением хаотизации его структуры – она, скорее, напротив, усложняется в результате термоядерных реакций, побочным результатом которых и является солнечный свет. Действительно, порядок и хаос в процессе развития оказываются сопряженными (в пространстве и/или во времени)[25] - здесь, однако, уместно вспомнить утверждение Юма о том, что пространственно-временная сопряженность не есть доказательство причинной связи. День и ночь тоже сопряжены во времени, однако день рождается не из ночи, а в результате увеличения освещенности поверхности в процессе вращения Земли. Таким образом, схему: “…хаос ® порядок ® хаос ® порядок…”, мы заменяем на: “… порядок ± хаос – порядок ± хаос - порядок …”[26]. Наши представления здесь соответствуют идеям многих других авторов: так, Ю.В.Сачков пишет, подчеркивая связь представлений о хаосе как первопотенции бытия и онтологических воззрений на второе начало термодинамики: “…представления о хаосе поддерживались и питались “выводами” о неизбежности тепловой смерти Вселенной… Подобные представления о хаосе как о некотором исходном и основном состоянии материи в литературе получили оценку как один из мифов прошлого, еще владеющих мышлением современного человека”.[27]

С.Бир указывает составляющие элементы убеждений о хаосе: 1) изначальное состояние природы хаотично; 2) порядок есть нечто, вносимое в хаос, навязываемая ему структура; 3) внутри этой структуры заключен скрытый хаос второго порядка; 4) как только энергия, поддерживающая порядок, перестает поступать, все вновь возвращается к хаосу.[28] В наше время эти убеждения подпитываются онтологизацией второго начала термодинамики, однако в историческом плане они имеют длительную традицию, восходя по меньшей мере к поэме Гесиода “Теогония”: “В самом начале был сотворен Хаос, а потом широкогрудая Земля…”;[29] в последующем он был закреплен авторитетом Платона, утверждавшему, что всякие изменения в материальном мире могут быть только к худшему.

В то же время существует и другая философская традиция имманентности организации, прослеживаемая С.Биром к Св. Иоанну: “В начале было Слово”[30] – это изречение утверждает атрибутивность процессов организации в природе. «Мы вполне можем исходить из не-хаоса; и нам не нужна некая “вещь”, заключающая в себя “принцип” имманентности организации. Единственно, что нам нужно, - это язык, отличный от языка Гесиода…»[31]- под языком здесь, по нашему мнению, подразумевается парадигма.

Действительно, если мы непредвзято рассмотрим естественнонаучные факты, то обнаружим, что порядок – гораздо более распространен, нежели хаос. Все живые существа есть упорядоченные структуры. Земля сложена кристаллическими породами, то есть структурно-упорядоченными веществами. Планетные системы построены отнюдь не хаотично, и звезды объединены в скопления, и, далее, в Галактики, имеющие, как правило, четкую спиралевидную структуру. Таким образом, вселенная в целом предстает как упорядоченная структура, в которой наблюдаются вкрапления хаотических фрагментов (на том или ином уровне). “Порядок более естественен, чем хаос… придя [к этому утверждению], я порвал с описательными постулатами Гесиода, давившими на мое сознание грузом почти трехтысячелетней давности. Это утверждение позволило мне совершенно по-новому взглянуть на системы”.[32] Таким образом, проблема противоречия второго начала термодинамики с принципом эволюции «оказалась искусственной, и возникла она из-за непонимания природы понятия энтропии во всей его глубине. Оказалось, что энтропия не может служить мерой сложности и что эволюция в сторону усложнения вообще не противоречит эволюции в сторону возрастания энтропии.»[33]

Если рассматривать экономическую систему как совокупность атомизированных индивидов, то, казалось бы, есть основания признать корректным аппроксимацию экономики термодинамической метафорой. У экономических «атомов» (т.е. – индивидов), однако, есть как минимум одно свойство, делающее такое отождествление в общем случае[34] неправомерным – способность к мышлению.

i.4. Мышление

Итак, выше мы обосновали тезис: процессы усложнения структуры запрещены вторым законом термодинамики только для термодинамических систем – т.е. систем, сложенных единообразными элементами с одним типом взаимодействия между ними. Системы, не подчиняющиеся термодинамическим ограничениям – отнюдь не исключение из правил: их достаточно много уже среди неживой природы.

В еще большей степени это присуще живым системам – они преодолевают ограничения, налагаемые на простые замкнутые неодушевленные системы 2-м законом термодинамики, ввиду наличия у них идеальных моделей поведения.

Модель – объект, замещающий другой объект (оригинал) в каком-либо аспекте (который нас интересует в оригинале – модель исследуется, чтобы получить информацию об оригинале). Прагматически ценной является такая модель, оперирование которой проще (экономнее, быстрее, и.т.п.), нежели оригиналом.

У животных моделирование окружающей среды «встроено» в виде рефлексов.

Человек способен еще и к мышлению. Мы определяем мышление как создание идеальных моделей, и оперирование ими.[35] Оперирование моделями позволяет получить предсказания о возможных изменениях в оригинале, и воздействовать на оригинал не хаотически, методом проб и ошибок, но целенаправленно[36].

Человека можно определить как существо, живущее в 2-х мирах – материальном (назовем его, по аналогии с известной схемой К.Поппера,[37] 1-м миром) и идеальном (2-м мире - т.е. мире мысли, или моделей),[38] и способное свободно переходить из одного мира в другой. Эта свобода есть важнейшее отличие человека от животных - животные тоже могут обрабатывать внешнюю информацию во 2-м мире (по заданным в виде рефлексов программам), но, в отличие от человека, не могут свободно (т.е. самостоятельно) разрывать поток взаимодействий, чтобы, оперируя со знаками во 2-м мире (мире мысли), создать новую модель реальности[39].

За счет мышления человек может делать предсказания о будущих изменениях окружающей среды (настолько точных, насколько точно модели, - т.е. мысли, - соответствуют реальности), т.е. получать информацию о будущем[40]. Таким образом, мышление – процесс информационный[41]

i.5. Выводы

В этом приложении мы даем определение информации, и показываем, что из соответствия формул теории информации и термодинамики не следует, что все выводы термодинамики можно распространять на системы любой другой природы. Энтропия в соответствии со 2-м законом термодинамики является неубывающей функцией, что вводит в термодинамику понятие необратимого процесса, однако расширение термодинамического подхода за пределы собственно термодинамики – неправомерно. Системы, не подчиняющиеся термодинамическим ограничениям – отнюдь не исключение из правил: их достаточно много уже среди неживой природы. В еще большей степени это присуще живым системам – они преодолевают ограничения, налагаемые на простые замкнутые неодушевленные системы 2-м законом термодинамики, ввиду наличия у них идеальных моделей поведения.

Если рассматривать экономическую систему как совокупность атомизированных индивидов, то, казалось бы, есть основания признать корректным аппроксимацию экономики термодинамической метафорой. У экономических «атомов» (т.е. – индивидов), однако, есть как минимум одно свойство, делающее такое отождествление в общем случае неправомерным – способность к мышлению. Поэтому информационное истолкование стоимости не является внутренне противоречивым (каковым оно было бы, если бы мы отождествляли информационный подход с энтропийным), - генерация экономическими системами новой информации (т.е. стоимости) не запрещена никакими общими принципами.

Модель – объект, замещающий другой объект (оригинал) в каком-либо аспекте. Мышление - оперирование идеальными моделями; мышление - это информационный процесс. Моделирование реальности возможно потому, что мир не есть полный хаос. Человека можно определить как существо, живущее в 2-х мирах – материальном (назовем его 1-м миром) и идеальном (2-м мире - т.е. мире мысли, или моделей).